2011年4月6日星期三

阿罗不可能定理

坊间对阿罗不可能定理有不少误解,似乎大多是因为将其与孔多塞投票悖论相混淆所致。由此容易出现两种跑偏了的讨论。一是认为一人一票简单多数决(因孔多塞悖论即是基于这一规则)不合理,应考虑如何设计改进投票规则,以防荒谬的结果出现。二是在根本上否定民主之有效,据此主张把决策权留给市场才更符合理性。事实上,阿罗对这两类误读并非没有预料。在Social Choice and Individual Values中这一定理的证明之后,他马上写道:

Theorem 2 (即不可能定理,正式名称是一般可能性定理) shows that, if no prior assumptions are made about the nature of individual orderings, there is no method of voting which will remove the paradox of voting discussed in Chapter I, Section 1, neither plurality voting nor any scheme of proportional representation, no matter how complicated. Similarly, the market mechanism does not create a rational social choice.

上述两种解读之所以成为误读,是因为阿罗定理虽蕴含了孔多塞悖论,但其实远远不止于此。阿罗的社会福利函数是纯粹抽象的,没有预设任何具体的赋值和计算方法,因而涵盖了由个体排序生成社会选择的一切可能的过程或规则。定理证否的不只是一人一票制下选项数超过2时简单多数决的理性,甚至也不只关乎投票,而是消解掉了所有力图从个体价值观得出理性(rational)或者说合意(satisfactory)的社会状态之尝试获得成功的可能性。阿罗的伟大之处也就在此。

但这里“理性”的含义需要厘清。在着手证明之前,阿罗首先给出了两条公理,即偏序关系的连通性和传递性,要求个人和社会对选项的排序都应满足这两条公理。此即理性。其中公理II更为关键。

如前所述,阿罗的备选社会状态远超出选举或立法范畴。他区分了仅关乎个人消费的口味(tastes)和书名中就包含了的价值观(values)。与后者相关的事项自然能够无所不包,既可以是要不要在某处兴建核电站,也可以是允不允许在私密环境中换妻,还可以是随便哪个人该把头发染成什么颜色之类的问题。

接下来,阿罗给出了社会福利函数应满足的5个条件:

  1. 社会选择是完备的,即对应于任一种全体个人的排序,都能产生一社会排序,且至少有三种社会状态可供选择。
  2. 某备选状态在所有个人排序中位置提高或不变时,其在社会排序中的位置应有同向的调整,即提高或不变,总之不应下降。这实际上是个较弱形式的帕累托原则。
  3. 社会对任意两种备选状态的排序不受其它无关备选状态变化的影响。这一条尤为重要。
  4. 社会对任意两种备选状态的排序都不是强加的,或者说,不能完全不受所有个人排序影响。
  5. 社会对任意两种备选状态的排序不是独裁的,即不能是不受除某一人之外所有其他个人排序影响的。

严格地说,阿罗并未证明存在n个个人和任意有限多种备选社会状态时的不可能定理,只是在条件1的限定下,不失一般性地证明了n个个人和3种选项时的情况(定理2)。在作为全书精华的第5章中,出于方便,他先定义了决定性集合(decisive set),并得到了5个小结论,然后用它们构造了一种会出现独裁者的情况,因此证明前述5个条件会导致矛盾。注意,若选项仅有2个,那么可以证明简单多数决完全符合除条件1(要求有至少三种选项)之外的各项条件,满足理性合意的社会福利函数的要求(定理1)。

或许会有朋友觉得,阿罗定义的“价值观”管得太宽,每个人关心自己就好了。但阿罗随后在第6章中指出,即便我们接受个人主义的假设,即每个人都只在乎自己所能得到的物品而对他人所得抱无所谓的态度,那么在有两种以上商品的世界里,理性的社会福利函数依然是不可能的,因为个人主义假设并未对个人的排序加以实质性约束。此为书中的定理3。

上面讲过,所谓社会选择的“理性”,是指社会对诸选项的排序需满足连通性和传递性,尤其是后者。阿罗不可能定理是说,如果社会福利函数满足了这两条公理和那5个条件中的前3个,就无法同时也满足后2个条件,即只能是强加的或独裁的。

阿罗在证明之后对定理的阐释中认为,倘若想理性地拒绝强加或独裁,效用的人际比较没有意义这一前提也必须坚持。能够放松的只有条件1,也就是说,对个人的排序可以预先作出限制。当然他也承认,“理性”的假设很有争议。布坎南就认为社会不应有什么“理性”可言。(阿罗回应说这只是语词之争。)因而后来很多人希望放松假设,允许社会选择有一定的“非理性”,以得到更积极的结果。但好像有些人是在加强而不是放松假设,比如在一定程度上引入人际效用比较等具体算法。这没有将阿罗的工作推广至更一般的情形,反倒是特殊化了。

最后说点题外话。阿罗的整个证明过程十分精彩,特别是结论1和最后定理的构造性证明,但所用的符号有时着实会起误导作用。例如,x和y是特定的备选状态或者说变量的取值,而x'和y'是变量,但x"和y"又是特定备选状态的符号,不得不说有点乱。另外,在定理2最后的证明中,他将构造出来的某个决定性集合记为V1,而V1包含了V'和V2,除此之外的社会成员被归入V3。怎么看都觉得,V'和V1的记号该交换一下才好。

Social Choice and Individual Values目前有三个中译本。走向未来丛书中的版本由陈志武和崔之元这两位后来出了名的学者翻译,却出现了足以影响阅读的错误。如第99页结论1中的“对一给定的互不相同的x与y及所有的i,都有xPi'y,从而也有xRiy”,按照原文应为“给定一对互不相同的x与y,对所有符合xRiy的i,都有xPi'y”,因果完全颠倒了。所以读者若想阅读中文版,不要因为译者的大名或这一版本容易下载就选择它,完全可以在首都经济贸易大学出版社诺奖得主自选集系列中的版本和最新的2010年译本中二选一。

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